陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 解三角形余弦定理知识小结和题型讲解素材 北师大版必修5
解三角形余弦定理知识小结和题型讲解
本节重点：在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式.
一．余弦定理基础知识
1. 余弦定理定理公式
?b2?c2?a2
?cosA?2bc?a2?b2?c2?2bcosA?2a?c2?b2?2?22余弦定理??b?a?c?2acosB??cosB?2ac?c2?a2?b2?2ccosC?222??cosC?a?b?c
?2ba?
2. 余弦定理的基本题型
(1) 已知两边及其夹角，求第三边和其他两角，其解法是先用余弦定理求第三边，再用余弦定
理的变形（或正弦定理）求另一角（只有唯一的解）
(2) 已知三边，求各角，其解法是利用余弦定理的变形求三个角，当求出一个角后也可使用正
弦定理求另外的角.（只有唯一解）
222(3) 在?ABC中，已知a、b、A，由余弦定理a?b?c?2bcosA，变式为：
c2?2bcosA?b2?a2?0，这是一个关于c的一元二次方程（可能有两解，需讨论）. 1若方程c2?2bcosA?b2?a2?0有两不相等的实数根c1，c2，且 ○
（I）c1?0，c2?0,则此三角形有两解；
（II）c1?0，c2?0，则此三角形有一解；
（III）c1?0，c2?0，则此三角形无解.
2若方程c2?2bcosA?b2?a2?0有两个相等的实数根c1?c2，且 ○
（I）c1?c2?0，则此三角形有一个解；（II）c1?c2?0，则此三角形无解.
3.三角形中三内角的三角函数关系(A?B?C??)
1sinA?sin(B?C),cosA??cos(B?C),tanA??tan(B?C).（注：二倍角的关系） ○
2sin○AB?CAB?CAB?C?cos(),cos?sin(),tan?cot(). 222222
ABCcoscos；tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC 2223sinA?sinB?sinC?4cos○4sin2A?sin2B?sin2C?2sinAsinBsinC ○
cos2A?cos2B?cos2C??1?4cosAcosBcosC
5sin2A?sin2B?sin2C?2(1?cosAcosBcosC) ○
cos2A?cos2B?cos2C?1?2cosAcosBcosC
4.三角形中的角所满足的常用三角不等式
- 1 -
1锐角?ABC中，有sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC?1 ○
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC?（正三角形时取等号）
sinC?sin(A?B)?sinA?sinB
2sinA?sinB?sinC?○333，cosA?cosB?cosC? 22
??2(锐角三角形）??1(锐角）
3sin2A?sin2B?sin2C?○，tan??tan?? 1??2(钝角三角形）??（直角）
??（直角三角形）??1(钝角）?2?
5.几个重要的结论
1A?B?sinA?sinB,cosA?cosB； ○
2三内角成等差数列?B?600,A?C?1200 ○
3射影定理：a?bcosC?ccosB，b?ccosA?acosC,c?acosB?bcosA ○
二．经典例题
1.在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?3:5:7，则这个三角形的最大角的外角
2.在?ABC中，已知AB?
（用4种方法）
3. 在?ABC中，若b?4,c?3，BC边上的中线m?
4.三角形形状的判定问题
（1）在?ABC中，acosA?bcosB，试确定此三角形形状
2222（2）在?ABC中，若bsinC?csinB?2bccosBcosC，试判断三角形的形状. 6AC46，cosB?，边上的中线BC?，求sinA的值63，求A,a,S?ABC. 2
（3）在?ABC中，若acosA?bcosB?ccosC，则?ABC的形状是
（4）
5. 在?ABC中，已知A?B?C,且A?2C,b?4,a?c?8，求a,c（a?2416，c?） 55
2226. 在?ABC中，已知4sinBsinB?1，b?c?a?bc，且B?C，求A、B、C
7. 已知?ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?
（1）求边AB的长；（2）若?ABC的面积为2sinC.求 1sinC，求角C的度数 6
- 2 -
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解三角形余弦定理知识小结和题型讲解
本节重点：在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式.
一．余弦定理基础知识
1. 余弦定理定理公式
?b2?c2?a2
?cosA?2bc?a2?b2?c2?2bcosA?2a?c2?b2?2?22余弦定理??b?a?c?2acosB??cosB?2ac?c2?a2?b2?2ccosC?222??cosC?a?b?c
?2ba?
2. 余弦定理的基本题型
(1) 已知两边及其夹角，求第三边和其他两角，其解法是先用余弦定理求第三边，再用余弦
定理的变形（或正弦定理）求另一角（只有唯一的解）
(2) 已知三边，求各角，其解法是利用余弦定理的变形求三个角，当求出一个角后也可使用
正弦定理求另外的角.（只有唯一解）
222(3) 在?ABC中，已知a、b、A，由余弦定理a?b?c?2bcosA，变式为：
c2?2bcosA?b2?a2?0，这是一个关于c的一元二次方程（可能有两解，需讨论）. 1若方程c2?2bcosA?b2?a2?0有两不相等的实数根c1，c2，且 ○
（I）c1?0，c2?0,则此三角形有两解；
（II）c1?0，c2?0，则此三角形有一解；
（III）c1?0，c2?0，则此三角形无解.
2若方程c2?2bcosA?b2?a2?0有两个相等的实数根c1?c2，且 ○
（I）c1?c2?0，则此三角形有一个解；（II）c1?c2?0，则此三角形无解.
3.三角形中三内角的三角函数关系(A?B?C??)
1sinA?sin(B?C),cosA??cos(B?C),tanA??tan(B?C).（注：二倍角的关系） ○
2sin○AB?CAB?CAB?C?cos(),cos?sin(),tan?cot(). 222222
ABCcoscos；tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC 2223sinA?sinB?sinC?4cos○4sin2A?sin2B?sin2C?2sinAsinBsinC ○
cos2A?cos2B?cos2C??1?4cosAcosBcosC
5sin2A?sin2B?sin2C?2(1?cosAcosBcosC) ○
cos2A?cos2B?cos2C?1?2cosAcosBcosC
4.三角形中的角所满足的常用三角不等式
1锐角?ABC中，有sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC?1 ○
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC?3（正三角形时取等号）
sinC?sin(A?B)?sinA?sinB
2sinA?sinB?sinC?○33，cosA?cosB?cosC? 22
??2(锐角三角形）??1(锐角）
3sin2A?sin2B?sin2C?○，tan??tan?? 1??2(钝角三角形）??（直角）
??（直角三角形）??1(钝角）?2?
5.几个重要的结论
1A?B?sinA?sinB,cosA?cosB； ○
2三内角成等差数列?B?600,A?C?1200 ○
3射影定理：a?bcosC?ccosB，b?ccosA?acosC,c?acosB?bcosA ○
二．经典例题
1.在?ABC中，已知sinA:sinB:sinC?3:5:7，则这个三角形的最大角的外角
2.在?ABC中，已知AB?
值（用4种方法）
3. 在?ABC中，若b?4,c?3，BC边上的中线m?
4.三角形形状的判定问题
（1）在?ABC中，acosA?bcosB，试确定此三角形形状
2222（2）在?ABC中，若bsinC?csinB?2bccosBcosC，试判断三角形的形状. 46AC，cosB?，边上的中线BC?，求sinA的3637，求A,a,S?ABC. 2
（3）在?ABC中，若acosA?bcosB?ccosC，则?ABC的形状是
（4）
5. 在?ABC中，已知A?B?C,且A?2C,b?4,a?c?8，求a,c（a?2416，c?） 55
2226. 在?ABC中，已知4sinBsinB?1，b?c?a?bc，且B?C，求A、B、C
7. 已知?ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?
（1）求边AB的长；（2）若?ABC的面积为2sinC.求 1sinC，求角C的度数 6