新课标人教版八年级数学知识点总结

第十九章 四边形

一、平行四边形：

㈠.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

㈡.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。

㈢. 平行四边形的面积：

1. 平行四边形的面积=底×高= ah（a是平行四边形的任何一条边长，h必须是边长为a的边与其对边的距离）

2. 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。

㈣.平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；

5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

提示：（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件；

（2）判定方法可作为 “画平行四边形”的依据；

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

㈤ 三角形中的中位线

1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

提示：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。

（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；

（2）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。

3、三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

㈥ 两条平行线间的距离

1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。

2、性质：⑴ 两条平行线间的距离处处相等；

⑵ 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。

二、矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵ 矩形的四个角都是直角；

⑶ 矩形的对角线平分且相等； （AC=BD）

⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。

提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；

⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。

3、矩形判定方法：

⑴ 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

⑵ 方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。

⑶ 方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。

三、菱形

1、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；

⑵ 菱形的四条边都相等；

⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷ 菱形是轴对称图形。

提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，

可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

3、菱形的判定方法：

⑴ 定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵ 判断方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶ 判断方法2：四条边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积的计算：

菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）

归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

四、正方形

1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 警示：⑴ 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；

⑵ 既是矩形又是菱形的四边形是正方形；

⑶ 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。

2、正方形的性质：

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

⑴ 边―― 四条边都相等，邻边垂直、对边平行；

⑵ 角―― 四个角都是直角；

⑶ 对角线―― 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；

⑷ 对称性―― 是轴对称图形，有四条对称轴。

⑸ 特殊性质―― 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形

3、正方形的判定：

判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：

⑴ 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；

⑵ 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。

五、梯形

1、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2、梯形的分类： 一般梯形

⑴ 直角梯形：有一个角是直角的梯形。 梯形 直角梯形

特殊梯形 等腰梯形 ⑵ 等腰梯形：两腰相等的梯形。

3、等腰梯形的性质：

⑴ 等腰梯形两腰相等，两底平行；

⑵ 等腰梯形同一底边上的两个角相等；

⑶ 等腰梯形的两条对角线相等。

⑷ 等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴。

4、等腰梯形的判定：

⑴ 两腰相等的梯形是等腰梯形；

⑵ 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

⑶ 对角线相等的梯形是等腰梯形。

提示：等腰梯形的判定思路：先证四边形为梯形（即一组对边平行且不等或另一组对边不平行），再证两腰相等或同一底上的两个角相等。

5、解决梯形问题常用辅助线的作法：

解决梯形问题常用辅助线的作法如下图：

① ② ③ ④ ⑤

①“平移腰”：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形； ②“作高”：使两腰在两个直角三角形中；

③“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中；

④“延长两腰” :构造具有公共角的两个三角形；

⑤“等积变形”:连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长与底的延长线交于一点，构成三角形。

转化

综上所述，解决梯形问题的基本思想和方法：梯形问题――――――→三角形或平行四边形问题，

分割、拼接

这种思路常常通过平移或旋转来实现。

六、重心

1、重心的定义：平面图形中，几何图形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平

衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。

2、几种几何图形的重心：

⑴ 线段的重心就是线段的中点；

⑵ 平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；

⑶ 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；

⑷ 任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点作为悬挂点，把多边形悬挂时，过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。

提示：⑴ 无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个；

⑵ 从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。

3、常见图形重心的性质：

⑴ 线段的重心把线段分为两等份；

⑵ 平行四边形的重心把对角线分为两等份；

⑶ 三角形的重心把中线分为1:2两部分（重心到顶点距离占2份，重心到对边中点距离占1份）。

第二篇：新课标人教版八年级数学第十八章勾股定理知识点总结

新课标人教版八年级数学知识点总结

第十八章 勾股定理

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

4.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°

（2）在直角三角形中，°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30° 可表示如下：?BC =1AB 2

∠C=90° （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ∠ACB=90°

可表示如下：?CD =

D为AB的中点 1AB = BD = AD 2

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB = 90CD2?ADBD

? AC2?ADAB

CD⊥BC2?BDAB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：AB2CD=AC2BC

7、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a?b?c，那么这个三角形是直角三角形。 222

8、命题、定理、证明

⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤

① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。